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2014南開(kāi)中學(xué)二診理科
數(shù)學(xué)答案
重慶南開(kāi)中學(xué)高2014級(jí)高三二診模擬考試
本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。
第I卷（選擇題共50分）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)備選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）
A、B、C、D、
2、已知命題，命題，則（ ）
A、命題是假命題B、命題是真命題
C、命題是真命題D、命題是假命題
3、已知等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的前8項(xiàng)和為（ ）
A、127B、255C、511D、1023
4、若展開(kāi)式中只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A、180B、120C、90D、45
5、已知菱形的邊長(zhǎng)4，，若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的四個(gè)頂點(diǎn)的距離均大于1的概率為（ ）
A、B、C、D、
6、若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)和軸的距離分別為5和3，則此拋物線的方程為（ ）
A、B、
C、或D、或
7、某程序框圖如圖所示，現(xiàn)分別輸入下列四
個(gè)函數(shù)，則可以輸出的是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若且，則（ ）
A、B、
C、D、
9、已知某幾何體的三視圖如圖所示，過(guò)該幾
何體最短兩條棱的中點(diǎn)作平面，使得平
分該幾何體的體積，則可以作此種平面
（ ）
A、恰好1個(gè)
B、恰好2個(gè)
C、至多3個(gè)
D、至少4個(gè)
10、數(shù)列滿足：，其中，，其中，則滿足條件的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)的最大值為（ ）
A、4025B、4026C、D、
第II卷（非選擇題，共100分）
二、填空題：本大題共6小題，考生作答5小題，每小題5分，共25分。把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上。
11、隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且 。
12、若，且，
則的最小值為 。
13、等邊的邊長(zhǎng)為2，取各邊的三等分點(diǎn)并連線，
可以將分成如圖所示的9個(gè)全等的小正三角形，
記這9個(gè)小正三角形的重心分別為，
則 。
考生注意：14、15、16為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。
14、如圖，是圓的直徑，過(guò)、的兩條弦
和相交于點(diǎn)，若圓的半徑是2，那么
的值等于 。
15、直線（為參數(shù)）與圓（為參數(shù)）相交所得的弦長(zhǎng)的取值范圍是 。
16、已知函數(shù)。若關(guān)于的不等式的解集是，則的取值范圍是 。
三、解答題：本大題6個(gè)小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
17、（本題滿分13分，第（1）問(wèn)5分，第（2）問(wèn)8分）
為了參加首屆中學(xué)生合唱比賽，學(xué)校將從四個(gè)班級(jí)中選出18名學(xué)生組成合唱團(tuán)，學(xué)生來(lái)源人數(shù)如下表：
班級(jí)班班班班人數(shù)4[]635（1）從這18名學(xué)生中隨機(jī)選出兩名，求兩人來(lái)自同一個(gè)班級(jí)的概率；
（2）若要求選出兩名學(xué)生作為學(xué)生領(lǐng)唱，設(shè)其中來(lái)自班的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列，及
數(shù)學(xué)期望。
18、（本題滿分13分，第（1）問(wèn)5分，第（2）問(wèn)8分）
已知函數(shù)。
（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
19、（本題滿分13分，第（1）問(wèn)6分，第（2）問(wèn)7分）
已知函數(shù)的圖像上的一個(gè)最高點(diǎn)，與該最高點(diǎn)最近的一個(gè)最低點(diǎn)是。
（1）求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（2）在中，角所對(duì)的邊分別為，且，角的取值范圍是區(qū)間，當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)的值域。
20、（本題滿分12分，第（1）問(wèn)6分，第（2）問(wèn)6分）
直四棱柱中，底面為菱形，且，，為的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，設(shè)。
（1）求二面角的大小；
（2）在上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。
21、（本題滿分12分，第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)8分）
如圖，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與焦點(diǎn)在軸上的橢圓相切于點(diǎn)，且橢圓與的離心率均為。
（1）求橢圓與橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線、，與兩橢圓，分別交于點(diǎn)與點(diǎn)（均不重合）。若，求與的方程。
22、（本題滿分12分，第（1）問(wèn)4分，第（2）問(wèn)8分）
設(shè)集合，若存在非空集合，使得，且集合的所有元素之和等于集合的所有元素之和，則稱集合為“最強(qiáng)集合”。
（1）若“最強(qiáng)集合”，求的所有可能值；
（2）若集合的所有元子集都是“最強(qiáng)集合”，求的最小值。
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