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深圳高級中學2014屆高三第一次月考試題
數 學（文科）
2013。09
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1． 已知全集 ，集合 ， ，則集合
A． B． C． D．
2．如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是（ ）
A. B． C． D．
3．設 為等比數列 的前 項和，已知 ， ，則公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 設 ，且 ，則 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函數 ，下面結論錯誤的是
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區(qū)間 上是增函數
7．直線 與圓 的位置關系是 （ ）
A.相離 B .相切 C.相交 D.不確定
8. 給出如下三個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。其中不正確的命題的個數是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.設直線 與函數 的圖像分別交于點 ，則當 達到最小時 的值為
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定義：若函數 的圖像經過變換 后所得圖像對應函數的值域與 的值域相同，則稱變換 是 的同值變換．下面給出四個函數及其對應的變換 ，其中 不屬于 的同值變換的是
A． ， 將函數 的圖像關于 軸對稱
B． ， 將函數 的圖像關于 軸對稱
C． ， 將函數 的圖像關于點 對稱
D． ， 將函數 的圖像關于點 對稱
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，
11.若數列 的通項公式是 ,則 .
12．若方程 在 內恰有一解,則實數 的取值范圍是 .
13．已知雙曲線 的一條漸近線方程是 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，則雙曲線的方程為 �。�
14.函數 是常數， 的部分圖象如圖所示，則
三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分12分）已知函數 .
(Ⅰ)求函數 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
16. （本小題滿分13分）在 中， 分別為角 的對邊，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面積 ，求邊 的值.
17. （本小題滿分13分）如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A。
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。
18. （本小題滿分14分）設數列 ， 滿足 ，且數列 是等差數列，數列 是等比數列。
（1）求數列 和 的通項公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說明理由。
19. （本小題滿分14分）設 .
（1）如果 在 處取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的單調遞減區(qū)間的長度是正整數，試求 和
的值．(注：區(qū)間 的長度為 ）
.20．（本小題滿分14分）設 ,函數 .
（1）討論函數 的單調區(qū)間和極值;
（2）已知 和 是函數 的兩個不同的零點,求 的值并證明: .
2014屆高三第一次月考試題
數 學（文科）答案
2013。09
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1． 已知全集 ，集合 ， ，則集合
A． B． C． D．
2．如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是（ ）
A. B． C． D．
3．設 為等比數列 的前 項和，已知 ， ，則公比 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.在△ 中，若 ， ， ，則 （ ）
A. B. C. D.
5. 設 ，且 ，則 （ ）
A. B.10 C.20 D.100
6．已知函數 ，下面結論錯誤的是
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區(qū)間 上是增函數
7．直線 與圓 的位置關系是 （ ）
A.相離 B .相切 C.相交 D.不確定
8. 給出如下三個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。其中不正確的命題的個數是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
9.設直線 與函數 的圖像分別交于點 ，則當 達到最小時 的值為
（ ）
A．1 B． C． D．
10．定義：若函數 的圖像經過變換 后所得圖像對應函數的值域與 的值域相同，則稱變換 是 的同值變換．下面給出四個函數及其對應的變換 ，其中 不屬于 的同值變換的是
A． ， 將函數 的圖像關于 軸對稱
B． ， 將函數 的圖像關于 軸對稱
C． ， 將函數 的圖像關于點 對稱
D． ， 將函數 的圖像關于點 對稱
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，
11.若數列 的通項公式是 ,則 .
12．若方程 在 內恰有一解,則實數 的取值范圍是 . .
13．已知雙曲線 的一條漸近線方程是 ，它的一個焦點與拋物線 的焦點相同，則雙曲線的方程為 �。窘狻� ．
14.函數 是常數， 的部分圖象如圖所示，則
答案： 新 課 標 第 一 網
三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分12分）已知函數 .
(Ⅰ)求函數 的最小正周期和值域;
(Ⅱ)若 ,求 的值.
解： (1)由已知,f(x)=
所以f(x)的最小正周期為2 ,值域為
(2)由(1)知,f( )= 所以cos( ).
所以
16. （本小題滿分13分）在 中， 分別為角 的對邊，
已知 ， ，且 .
(1) 求角 ；(2) 若 ， 的面積 ，求邊 的值.
16. 解：(1) 依題知得 即 ……3分
也就是 ，又 ，所以 ………………………6分
(2) ，且 ，所以 ……………8分
又 得 .
17. （本小題滿分13分）如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A。
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程。
17．本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎知識，考查運算求解能力，
考查函數與方程思想、數形結合思想，滿分12分。
解：（I）由 ，（*）
因為直線 與拋物線C相切，所以 解得b=-1。
（II）由（I）可知 ，
解得x=2，代入 故點A（2，1），因為圓A與拋物線C的準線相切，
所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離，即
所以圓A的方程為
18. （本小題滿分14分）設數列 ， 滿足 ，且數列 是等差數列，數列 是等比數列。
（1）求數列 和 的通項公式；
（2）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說明理由。
解：（1）由題意得：
＝ ； …3分
由已知 得公比 ，
…6分
（2） ，
∴當 時， 是增函數。 又 ， 所以當 時 ，
又 ，所以不存在 ，使 。
19. （本小題滿分14分）設 .
（1）如果 在 處取得最小值 ，求 的解析式；
（2）如果 ， 的單調遞減區(qū)間的長度是正整數，試求 和
的值．(注：區(qū)間 的長度為 ）
.解：（1）已知 ，
又 在 處取極值，
則 ，又在 處取最小值-5.
則 ，
（2）要使 單調遞減，則
又遞減區(qū)間長度是正整數，所以 兩根設做a，b。即有：
b-a為區(qū)間長度。又
又b-a為正整數，且m+n<10,所以m=2，n=3或， 符合。
20．（本小題滿分14分）設 ,函數 .
（1）討論函數 的單調區(qū)間和極值;
（2）已知 和 是函數 的兩個不同的零點,求 的值并證明: .
20．（本題滿分14分）
解：在區(qū)間 上, . ……………………2分
①若 ,則 , 是區(qū)間 上的增函數,無極值； ………………4分
②若 ,令 得: .
在區(qū)間 上, ,函數 是增函數;
在區(qū)間 上, ,函數 是減函數;
在區(qū)間 上, 的極大值為 .
綜上所述，①當 時, 的遞增區(qū)間 ,無極值； …………………7分
③當 時， 的是遞增區(qū)間 ，遞減區(qū)間是 ，
函數 的極大值為 . …………………9分
(2) ∴ ，解得: . …………………10分
∴ . …………………11分
又 , , ……13分
由(1)函數 在 遞減,故函數 在區(qū)間 有唯一零點,
因此 . ………………14分
深圳市高級中學2014屆第一次月考
注：請將答案填在答題卷相應的位置上
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ,則
A. B. C. D.
2. 如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是
A． B． C． D．
3. 下列函數中，滿足 的是
A． B． C． D．
4. 已知函數 ，下面結論錯誤的是
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區(qū)間 上是增函數
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3；將函數f(x)＝3 sin x1 cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為( )
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數 的一段圖象是
8. 設函數 其中 表示不超過 的最大整數，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數 ，則 .
10. 已知 ，則 _____________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 ．
12. 已知函數 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是___.
13. 設 ，且 ，則 _________.
14. 若關于 的方程 有四個不同的實數解，則實數k的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數
（I）求函數 的最小正周期；
（II）確定函數 在 上的單調性并求在此區(qū)間上 的最小值.
16．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
17. （本小題滿分14分）
已知等比數列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數列 的通項公式；
(Ⅱ)設 ，求 的最大值及相應的 值．
18. （本小題滿分14分）
設二次函數 滿足條件：（1） ；（2）函數在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數 的取值范圍.
19.（本題滿分14分）
已知函數 的圖象如圖，直線 在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
（1）求 的解析式
（2）若常數 ，求函數 在區(qū)間 上的最大值.
20．（本小題滿分14分）
已知函數 ， .
(Ⅰ)若 ，求函數 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍. 注： 是自然對數的底數
深圳市高級中學2014屆第一次月考
注：請將答案填在答題卷相應的位置上
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．
1. 已知全集 ，集合 ， 則 C
A. B. C. D.
2. 如果函數 上單調遞減，則實數 滿足的條件是（ A ）
A． B． C． D．
3. 下列函數中，滿足 的是C
A． B． C． D．
4. 已知函數 ，下面結論錯誤的是C
A．函數 的最小正周期為 B．函數 是偶函數
C．函數 的圖象關于直線 對稱 D．函數 在區(qū)間 上是增函數
5. 給出如下四個命題：
①若“ 且 ”為假命題，則 、 均為假命題；
②命題“若 且 ，則 ”的否命題為“若 且 ，則 ”；
③在 中，“ ”是“ ”的充要條件。
④命題 “ ”是真命題. 其中正確的命題的個數是( D )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 定義行列式運算a1 a2a3 a4＝a1a4－a2a3；將函數f(x)＝3 sin x1 cos x的圖象向左平移n(n>0)個單位，所得圖象對應的函數為偶函數，則n的最小值為( C)
A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3
7. 函數 的一段圖象是B
8. 設函數 其中 表示不超過 的最大整數，如 =-2， =1， =1，若直線y= 與函數y= 的圖象恰有三個不同的交點，則 的取值范圍是 D
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．
9. 已知函數 ，則 .
10. 已知 ，則 ____ _________.
11. 曲線 所圍成的封閉圖形的面積為 103 ．
12. 已知函數 若命題“ ”為真，則m的取值范圍是
________.（—∞，-2）
13. 設 ，且 ，則 _________
14. 若關于 的方程 有四個不同的實數解，則 的取值范圍是 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
15．（本小題滿分12分）
已知函數
（I）求函數 的最小正周期；
（II）確定函數 在 上的單調性并求在此區(qū)間上 的最小值.
15解 ，…………3分
則 的最小正周期是 ；……………4分
16．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)＝Asinπ3x＋φ，x∈R，A＞0，0＜φ＜π2，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，P、Q分別為該圖象的最高點和最低點，點P的坐標為(1，A)．
(1)求f(x)的最小正周期及φ的值；
(2)若點R的坐標為(1，0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．
解析：(1)由題意得T＝2ππ3＝6………………………….2分
因為P(1，A)在y＝Asinπ3x＋φ的圖象上，所以sinπ3＋φ＝1.
又因為0＜φ＜π2，所以φ＝π6…………………………6分
(2)設點Q的坐標為(x0，－A)．
由題意可知π3x0＋π6＝3π2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．-----------------------8分
連接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π3，由余弦定理得
cos ∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ22RP•RQ＝A2＋9＋A2－（9＋4A2）2A•9＋A2＝－12，解得A2＝3.
又A＞0，所以A＝3.--------------------------------12分
17. （本小題滿分14分）
已知等比數列 中， ， ， ．
(Ⅰ)求數列 的通項公式；
(Ⅱ)設 ，求 的最大值及相應的 值．
1．解：(Ⅰ) ， ，所以： ． …（3分）
以 為首項． ……………（5分）
所以 通項公式為： ． ……（7分）
(Ⅱ)設 ，則 ． …………………（8分）
所以 是首項為6，公差為 的等差數列． ………………（10分）
= ． …………（12分）
因為 是自然數，所以 或 時， 最大，其最值是 21． ……（14分）
18. （本小題滿分14分）
設二次函數 滿足條件：（1） ；（2）函數在
軸上的截距為1，且 .
(1)求 的解析式;
(2)若 的最小值為 ,請寫出 的表達式;
(3)若不等式 在 時恒成立,求實數 的取值范圍.
解: (1) …………………………4分
(2) ----------------10分
(3) -----------------14分
19.（本題滿分14分）
已知函數 的圖象如圖，直線 在原點處與函數圖象相切，且此切線與函數圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為274.
(1) 求
（2）若常數 ，求函數 在區(qū)間 上的最大值.
解析：由f(0)＝0得c＝0，………………….2分
f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′(0)＝0得b＝0，………………………4分
∴f(x)＝x3＋ax2＝x2(x＋a)，
由∫－a0[－f(x)]dx＝274得a＝－3.
∴f(x)＝x3－3x2………………………………8分
（2）由（1）知 .
的取值變化情況如下：
2
單調
遞增 極大值 單調
遞減 極小值 單調
遞增
又 ,
①當 時, ；……………11分
②當 時,
綜上可知 …………… …………14分
20．（本小題滿分14分）
已知函數 ， .
(Ⅰ)若 ，求函數 在區(qū)間 上的最值；
(Ⅱ)若 恒成立，求 的取值范圍.
注： 是自然對數的底數
. 解：(Ⅰ) 若 ，則 .
當 時， ，
，
所以函數 在 上單調遞增；
當 時， ，
.
所以函數 在區(qū)間 上單調遞減，
所以 在區(qū)間 上有最小值 ，又因為 ，
，而 ，
所以 在區(qū)間 上有最大值 ………………………………….5分
(Ⅱ) 函數 的定義域為 ．
由 ，得 ． （*）
（ⅰ）當 時， ， ，
不等式（*）恒成立，所以 ；……………………………………….7分
（ⅱ）當 時，
①當 時，由 得 ，即 ，
現(xiàn)令 ， 則 ，
因為 ，所以 ，故 在 上單調遞增，
從而 的最小值為 ，因為 恒成立等價于 ，
所以 ；………………………………………………….11
②當 時， 的最小值為 ，而 ，顯然不滿足題意……….13分
綜上可得，滿足條件的 的取值范圍是 . …………………………………14分
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